** Tapis de Sierpinski

Sur ce fichier GeoGebra, on peut faire varier \(n\) .

On considère un carré de côté de longueur une unité . 
On divise alors ce carré en neuf carrés identiques et on colorie le carré central. 
Les huit carrés restants sont à leur tour divisés et coloriés selon le même procédé.
Pour tout entier naturel `n` , on note `A_n`  l'aire totale coloriée après la `n` - ième étape.

1. Montrer que, pour tout entier naturel `n` , \(A_{n+1}=\displaystyle\frac{8}{9}A_n+\displaystyle\frac{1}{9}\) .

2. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel `n` , \(A_n=1-\left(\displaystyle\frac{8}{9}\right)^n\) .

3. En déduire la limite de la suite `(A_n)` .

Remarque

Ce procédé de construction permet de générer un objet fractale appelé Tapis de Sierpinski du nom du mathématicien polonais.